Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PC與平面PAB所成角的余弦值；
（3）當(dāng)二面角B-PC-D為直二面角時，求PA的長．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由已知條件可得ACBD，PABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證；
（II）結(jié)合已知條件，設(shè)AC與BD的交點為O，則OB⊥OC，故考慮分別以O(shè)B，OC為x軸、y軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，則θ可轉(zhuǎn)化為

PB

與

AC

所成的角，代入公式cosθ=

| PB • AC |

| PB || AC |

可求；
（III）分別求平面PBC的法向量

m

=（-3，

3

，

6

t

），平面PDC的法向量

n

=（-3，

3

，

6

t

），由平面PBC⊥平面PDC可得

m

•

n

=0從而可求t即PA．

解答： 解：（I）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC；
（II）設(shè)AC∩BD=O，因為∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=

3

，取AB的中點E，連接PE，CE．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC為x軸、y軸，以過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），E（

1

2

，-

3

2

，0）
所以|

PE

|=

5

，|

EC

|=

7

，|

PC

|=4
設(shè)PE與EC所成的角為θ，則由余弦定理可得：cosθ=

PE2+EC2-PC2

2×PE×EC

=-

2 35

35

．
（III）由（II）知

BC

=（-1，

3

，0），設(shè)P（0，-

3

，t）（t＞0），
則

BP

=（-1，-

3

，t），
設(shè)平面PBC的法向量

m

=（x，y，z），
則

BC

•

m

=0，

BP

•

m

=0，
所以

-x+ 3 y=0 -x+ 3 y+tz=0

令y=

3

，則x=3，z=

6

t

，
平面PBC的法向量所以

m

=（-3，

3

，

6

t

），
同理平面PDC的法向量

n

=（-3，

3

，

6

t

），因為平面PBC⊥平面PDC，
所以

m

•

n

=0，即-6+

36

t2

=0，解得t=

6

，
所以PA=

6

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的夾角、距離等問題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力