Question

20．如圖，在直三棱柱ABA₁-DCD₁中，${D_1}C=\sqrt{2}a$，DD₁=DA=DC=a，點(diǎn)E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AF⊥ED₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面AFD₁的距離．

Answer 1

分析 法一：（I）由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，DD₁⊥DC．利用線面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD．于是DD₁⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可證明AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）設(shè)三棱錐D₁-AEF的體積為V，點(diǎn)E到平面AFD₁的距離為h，利用${V}_{{D}_{1}-AEF}$=${V}_{E-A{D}_{1}F}$即可得出．
法二：（I）由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，可得DD₁⊥DC．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．計(jì)算$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，即可證明$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}E}$．
（II）設(shè)平面AD₁F的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$，可得點(diǎn)E到平面AFD₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 法一：（I）證明：由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，DD₁⊥DC．
連接DE，由已知得AD⊥DD₁，又DD₁⊥DC，AD∩DC=D，∴DD₁⊥平面ABCD．
又AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF．
DA=DC=a，$CE=DF=\frac{1}{2}a$，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD₁∩DE=D，∴AF⊥平面D₁DE，AF⊥ED₁．
（Ⅱ）設(shè)三棱錐D₁-AEF的體積為V，點(diǎn)E到平面AFD₁的距離為h，$V=\frac{1}{3}×{S_{△AEF}}×D{D_1}=\frac{1}{3}×（{a^2}-2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×a-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a）×a=\frac{1}{8}{a^3}$，
${D_1}F=AF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$，$A{D_1}=\sqrt{2}a$，
過F作FG⊥AD₁于G，則$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，△AD₁F的面積$S=\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}×h=\frac{1}{8}{a^3}$，解得$h=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$．）
法二：（I）證明：由已知得$D{D_1}^2+D{C^2}={D_1}{C^2}$，∴DD₁⊥DC．
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），E（$\frac{a}{2}$，a，0），F(xiàn)（0，$\frac{a}{2}$，0），
D₁（0，0，a）．
$\overrightarrow{AF}$=$（-a，\frac{a}{2}，0）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$（\frac{a}{2}，a，-a）$．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+0=0，∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{{D}_{1}E}$．
∴AF⊥ED₁．
（II）解：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，a），$\overrightarrow{AE}$=$（-\frac{a}{2}，a，0）$．
設(shè)平面AD₁F的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\frac{a}{2}y=0}\\{-ax+az=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
∴點(diǎn)E到平面AFD₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{a}{2}+2a|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、等體積法、法向量的應(yīng)用、相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．