Question

9．若存在實數(shù)a、b使得直線ax+by=1與線段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一個公共點，且不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，則正實數(shù)p的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，可知：點A（1，0），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)，因此（a-1）（2a+b-1）≤0．畫出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．由圖可知，當原點O到直線2x+y-1=0的距離為原點到區(qū)域內(nèi)的點的距離的最小值，可得d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．由于存在實數(shù)a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，可得$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，
∴點A（1，0），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{a-1≤0}\\{2a+b-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥0}\\{2a+b-1≤0}\end{array}\right.$；
畫出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．
a²+b²表示原點到區(qū)域內(nèi)的點的距離的平方，
由圖可知，當原點O到直線2x+y-1=0的距離為原點到區(qū)域內(nèi)的點的距離的最小值，
∵d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$
那么a²+b²的最小值為：d²=$\frac{1}{5}$．
由于存在實數(shù)a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，
∴$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．
∴$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）$=1+p+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥1+p+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}•\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$=1+p+2$\sqrt{p}$，
當且僅當tan²θ=$\frac{1}{\sqrt{p}}$時取等號．
∴1+p+2$\sqrt{p}$≥4，p＞0，解得1≤p．
∴tanθ=1，即$θ=\frac{π}{4}$時取等號．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)、線性規(guī)劃有關知識、三角函數(shù)基本關系式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．