Question

17．已知直線l：ax-y+1=0與x軸，y軸分別交于點A，B．
（1）若a＞0，點M（1，-1），點N（1，4），且以MN為直徑的圓過點A，求以AN為直徑的圓的方程；
（2）以線段AB為邊在第一象限作等邊三角形ABC，若a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且點P（m，$\frac{1}{2}$）（m＞0）滿足△ABC與△ABP的面積相等，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出A的坐標(biāo)，即可求以AN為直徑的圓的方程；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，令直線方程中x與y分別為0，求出相應(yīng)的y與x的值，確定出點A與B的坐標(biāo)，進而求出AB的長即為等邊三角形的邊長，求出等邊三角形的高即為點C到直線AB的距離，由△ABP和△ABC的面積相等，得到點C與點P到直線AB的距離相等，利用點到直線的距離公式表示出點P到直線AB的距離d，讓d等于求出的高列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答 解：（1）由題意A（-$\frac{1}{a}$，0），AM⊥AN，
∴$\frac{4}{1+\frac{1}{a}}•\frac{-1}{1+\frac{1}{a}}$=-1，∵a＞0，∴a=1，
∴A（-1，0），∵N（1，4），
∴AN的中點坐標(biāo)為D（0，2），|AD|=$\sqrt{5}$，
∴以AN為直徑的圓的方程是x²+（y-2）²=5；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，令x=0，解得y=1，
故點B（0，1），
令y=0，解得x=$\sqrt{3}$，故點A（$\sqrt{3}$，0），
∵△ABC為等邊三角形，且OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
根據(jù)勾股定理得：AB=2，即等邊三角形的邊長為2，
故過C作AB邊上的高為$\sqrt{3}$，即點C到直線AB的距離為$\sqrt{3}$，
由題意△ABP和△ABC的面積相等，
則P到直線AB的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{1}{2}$|=$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查圓的方程，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及點到直線的距離公式．