Question

10．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為8，點H在棱AA₁上，且HA₁=2，在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)作邊長為2的正方形EFGC₁，P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動點且點P到平面CDD₁C₁距離等于線段PF的長，則當(dāng)點P運動時，|HP|²的最小值是（　�。�

• A． 87
• B． 88
• C． 89
• D． 90

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，過點H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，得出HP²=HM²+MP²；當(dāng)MP最小時，HP²最小，利用空間直角坐標(biāo)系求出MP²的最小值即可．

解答 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
過點H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，
則HM⊥PM，
∴HP²=HM²+MP²；
當(dāng)MP最小時，HP²最小，
過P作PN⊥CC′，垂足為N，
設(shè)P（x，8，z），則
F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z），且0≤x≤8，0≤z≤8，
∵PN=PF，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（z-6）^{2}}$=x，化簡得4x-4=（z-6）²，
∴MP²=（x-8）²+（z-6）²=（x-8）²+4x-4=x²-12x+60=（x-6）²+24≥24，
當(dāng)x=6時，MP²取得最小值，此時HP²=HM²+MP²=8²+24=88為最小值．
故選：B．

點評 本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題，也考查了空間中的距離的最值問題，是較難的題目，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．