【題目】已知函數(shù),在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

(1)求的取值范圍;

(2)記兩個極值點為,且,證明:.

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

(1)由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知題目可轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同根,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,從而討論求解;

(2) 問題等價于,令,則,所以,設(shè),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

解:(1)由題意知,函數(shù)的定義域為,

方程有兩個不同根;

即方程有兩個不同根;

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,如圖.

可見,若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為,只須

令切點,

,又

,解得,,

,故的取值范圍為

(2)由(1)可知分別是方程的兩個根,

,作差得,即

對于,取對數(shù)得,即

又因為,所以,得

,則,,即

設(shè), ,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,

所以,

即不等式成立,

故所證不等式成立.

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