Question

13．設函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ex，g（x）=x-elnx．
（1）求函數g（x）的極值；
（2）若對任意的x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），方程f（x）=ag（x）有且只有兩個實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數和函數的單調性的關系即可求出，
（2）構造函數h（x）=f（x）-ag（x），根據導數和函數極值的關系，分類討論即可求出

解答 解：（1）∵g（x）=x-elnx，x＞0
∴g′（x）=1-$\frac{e}{x}$，
當g′（x）＞0時，解得x＞e時，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，解得0＜x＜e時，函數g（x）單調遞減，
∴當x=e時，函數g（x）取得極小值，即為g（e）=e-e=0，無極大值，
（2）設h（x）=f（x）-ag（x），
∵方程f（x）=ag（x）有且只有兩個實根，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個實根，
∴h′（x）=f′（x）-ag′（x）=x-e-a（1-$\frac{e}{x}$）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，
①當a≤$\frac{1}{e}$時，當h′（x）＞0時，即（x-a）（x-e）＞0，解得x＞e，函數h（x）單調遞增，
當h′（x）＜0時，即（x-a）（x-e）＜0，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e，函數h（x）單調遞減，
∴h（x）_min=h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∵h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上有且只有兩個實根，
∴h（$\frac{1}{e}$）≥0
∴$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-a（$\frac{1}{e}$+e）≥0，
解得a≤$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$＜0，
②當$\frac{1}{e}$＜a＜e時，當h′（x）＞0時，解得$\frac{1}{e}$≤x＜a或x＞e，函數單調遞增，
當h′（x）＜0時，解得a≤x＜e，函數單調遞減，
∵h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
當x=a時，函數有極大值，即為h（a）=$\frac{1}{2}$a²-ae-a²-e+aelna＜0，
∴h（x）=0只有一個根，不滿足題意；
③當a=e，h（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）單調遞增，
∴h（x）_min=$\frac{1}{2{e}^{2}}$-1-e（$\frac{1}{e}$+e）≤0，
∴h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，+∞）只有一個根，不合題意；
④當a＞e時，當h′（x）＞0時，解得$\frac{1}{e}$≤x＜e或x＞a，函數單調遞增，
當h′（x）＜0時，解得e≤x＜a，函數單調遞減，
∴當x=e時，函數h（x）由極大值，極大值為h（e）=-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∴h（x）=0只有一個根，不滿足題意，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，$\frac{1-2{e}^{2}}{2e（e+1）}$]．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和極值、最值得關系和分類討論的能力和運算能力，屬于中檔題．