Question

16．若方程kx-lnx=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （1，ln2）
• B． $（{\frac{1}{e}，e}）$
• C． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• D． （0，e）

Answer 1

分析 分離參數(shù)得k=$\frac{lnx}{x}$，作出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出k的范圍．

解答 解：由kx-lnx=0得k=$\frac{lnx}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時，f（x）取得最大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程kx-lnx=0有兩個實數(shù)根，即方程k=f（x）有兩解，
∴0＜k＜$\frac{1}{e}$．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．