Question

6．已知函數(shù)f（x）=sinx-ax．
（Ⅰ）對于x∈（0，1），f'（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，令h（x）=f（x）-sinx+lnx+1，求h（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＜cosx在（0，1）恒成立，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出h（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx-ax，f′（x）=cosx-a，
若對于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，
即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；   …4分
（Ⅱ）a=1時，h（x）=lnx-x+1，（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴h（x）的最大值是h（1）=0． …12分

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．