Question

5．若直線y=x+b與曲線y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$有公共點，則b的取值范圍是（　　）

• A． [1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]
• B． [1-$\sqrt{2}$，3]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，3]
• D． [-1，1+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 曲線即 （x-2）²+（y-3）²=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得 b=1+2$\sqrt{2}$，b=1-2$\sqrt{2}$．結(jié)合圖象可得b的范圍．

解答 解：如圖所示：曲線y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，
即 （x-2）²+（y-3）²=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓．
由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，
可得$\frac{|2-3-b|}{\sqrt{2}}$=2，
∴b=1+2$\sqrt{2}$，或b=1-2$\sqrt{2}$．
結(jié)合圖象可得1-2$\sqrt{2}$≤b≤3，
故選C．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．