Question

19．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，CE=AB，PD=λCE（λ＞1）
（1）求證：PE⊥AD
（2）若該幾何體的體積被平面BED分成V_B-CDE：V_{多面體ABDEP}=1：4的兩部分，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）證明：AD⊥平面PDCE，即可證明PE⊥AD；
（2）分別求出體積，利用V_B-CDE：V_{多面體ABDEP}=1：4，求λ的值．

解答 （1）證明：∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDCE，
∵PD?平面PDCE，
∴PE⊥AD
（2）解：設(shè)AB=a，則AD=CE=a，V_B-CDE=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}{a}^{2}）×a$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，
V_{多面體ABDEP}=V_B-PDE+V_P-ABD=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}λ{(lán)a}^{2}）×a+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×λa$=$\frac{1}{3}λ{(lán)a}^{3}$，
∵V_B-CDE：V_{多面體ABDEP}=1：4，∴λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．