Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB₁∩A₁B=E，D為AC上的點，B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅰ）求證：BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱錐A-BCB₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)ED，證明：BD⊥AC，A₁A⊥BD，即可證明BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，利用體積公式求三棱錐A-BCB₁的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)ED（1分）
∵平面AB₁C∩平面A₁BD=ED，B₁C∥平面A₁BD，
∴B₁C∥ED，---------------------------------------------（3分）
∵E為AB₁中點，∴D為AC中點，
∵AB=BC，∴BD⊥AC①，-------------------------------（4分）
由A₁A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A₁A⊥BD②，
由①②及A₁A、AC是平面A₁ACC₁內(nèi)的兩條相交直線，
得BD⊥平面A₁ACC₁．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：由AB=1得BC=BB₁=1，
由（Ⅰ）知$DA=\frac{1}{2}AC$，又AC•DA=1得AC²=2，----------------------------------------（8分）
∵AC²=2=AB²+BC²，∴AB⊥BC，---------------------------------------------------（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{1}{2}$
∴${V_{A-BC{B_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•B{B_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．---------------------------------------------------------（12分）

點評 本題主要考查了線面平行性質(zhì)和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，三棱錐體積的計算．考查了學(xué)生立體幾何綜合素質(zhì)．