Question

15．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“⊕”：$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}b，a-b≥1\\ a，a-b＜1\end{array}\right.$，設(shè)f（x）=（x²-1）⊕（4+x），若函數(shù)y=f（x）-k有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-1，2]
• B． [0，1]
• C． [-1，3）
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，由題意可得，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求得結(jié)果．

解答 解：由x²-1-（4+x）=x²-x-5≥1得x²-x-6≥0，得x≥3或x≤-2，此時(shí)f（x）=4+x，
由x²-1-（4+x）=x²-x-5＜1得x²-x-6＜0，得-2＜x＜3，此時(shí)f（x）=x²-1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4+x，}&{x≥3或x≤-2}\\{{x}^{2}-1，}&{-2＜x＜3}\end{array}\right.$，
若函數(shù)y=f（x）-k有三個(gè)不同零點(diǎn)，
即y=f（x）-k=0，即k=f（x）有三個(gè)不同的根，
作出函數(shù)f（x）與y=k的圖象如圖：
當(dāng)k=2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k=-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故若函數(shù)f（x）與y=k有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則-1＜k≤2，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-1，2]，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是正確畫(huà)圖、識(shí)圖；體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．