【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為正方形,四邊形為直角梯形,且, ,平面平面, .
()求證: 平面.
()若二面角為直二面角,
(i)求直線與平面所成角的大。
(ii)棱上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)(i),(ii)見解析.
【解析】試題分析:(1)連結(jié)BD,設(shè)AC∩BD=O,設(shè)G為DE的中點,連結(jié)OG,FG,推導出四邊形AOGF為平行四邊形,從而AC∥FG,由此能證明AC∥平面DEF.
(2)(i)以A為原點,AD,AB,AF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線AC與平面CDE所成角的大。
(ii)假設(shè)棱DE上存在點P,使得BP⊥平面DEF.設(shè),則,設(shè)P(x,y,z),求出P點坐標為,從而,由此能求出DE上存在點P,使得BP⊥平面DEF,且.
試題解析:
()證明:連接交于,
∵四邊形為正方形,
∴是中點,
設(shè)是的中點,連接, ,
則,且,
∵四邊形為直角梯形,且, ,
∴,且,
∴,且,
∴四邊形為平行四邊形,
∴,即,
又∵平面, 平面,
∴平面.
()(i)由已知, , ,
∴,
∵二面角為直二面角,
∴平面平面,
∴平面,
∴, ,
又四邊形為正方形,
∴,
∴, , 兩兩垂直,
以為原點, , , 分別為, , 軸建立空間直角坐標系,
如圖所示,
由得: , , , , , .
∴, , .
設(shè)平面的一個法向量為,則:
,即,
取,則, ,
∴,
設(shè)直線與平面所成的角為,則有:
,
∵,
∴,
即直線與平面所成角的大小為.
(ii)假設(shè)棱上存在點,使得平面,
設(shè),則,
設(shè),則,
∵,
∴,
∴, , ,
解得, , ,
即點坐標為,
∵,
∴,
又, ,
∴,即,
解得.
∵,
∴上存在點,使得平面,且.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與坐標原點距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓相交于C、D兩點,試判斷是否存在k值,使以CD為直徑的圓過定點E?若存在求出這個k值,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線y=k(x+ )與曲線y= 恰有兩個不同交點,記k的所有可能取值構(gòu)成集合A;P(x,y)是橢圓 上一動點,點P1(x1 , y1)與點P關(guān)于直線y=x+l對稱,記 的所有可能取值構(gòu)成集合B,若隨機地從集合A,B中分別抽出一個元素λ1 , λ2 , 則λ1>λ2的概率是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=c2,求sin C的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題13分)已知數(shù)列滿足:,,且.記
集合.
(Ⅰ)若,寫出集合的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);
(Ⅲ)求集合的元素個數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率e= ,右頂點、上頂點分別為A,B,直線AB被圓O:x2+y2=1截得的弦長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過點B且斜率為k的動直線l與橢圓C的另一個交點為M, =λ( ),若點N在圓O上,求正實數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將沿DE,EF,DF折成正四面體,則在此正四面體中,下列說法正確的是______.
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為;
;
與PD所成的角為;
與EF所成角為
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