Question

2．如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′，O為A′D的中點，連接EF，EO，F(xiàn)O．

（Ⅰ）求證：A′D⊥EF；
（Ⅱ）求直線BD與平面OEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后證明A'D⊥EF．
（Ⅱ）說明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)'-xyz，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面OEF的一個法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線BD與平面OEF所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
則A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）
又A′E∩A′F=A′
∴A′D⊥平面A′EF…（6分）
而EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF．

（Ⅱ）∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF=A′E=A′F=1
∴EF=$\sqrt{2}$，∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F
由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，
∴分別以A′E，A′F，A′D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)′-xyz，…（9分）
則A′（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），
設(shè)EF與BD相交于G，則G為EF的中點，
∴O（0，0，1），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{OE}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{OF}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{DG}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-2），
設(shè)平面OEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則由$\left\{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
令直線DG與平面OEF所成角為α，∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{3}•\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴直線BD與平面OEF所成角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．