Question

1．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}sinxcosx（x∈{R}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程f（x）-t=1在$x∈[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)$x∈[0，\frac{π}{2}]$求解f（x）的圖象范圍，利用數(shù)形結(jié)合，可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}sinxcosx（x∈{R}）$．
化簡可得：f（x）=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$上是單調(diào)增函數(shù)，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，（k∈Z）．
故得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
[$-\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，
則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
方程f（x）-t=1在$x∈[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，
即：2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-t=1，
可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$t在$x∈[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，
設(shè)2x+$\frac{π}{6}$=u
那么函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為g（u）．
等價于g（u）=sinu與函數(shù)y=$\frac{1}{2}$t有兩個不同的交點(diǎn)．
∵g（u）=sinu的圖象為：（如圖）
由圖象可得：sin$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}t$＜1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}t$＜1，
解得：1≤t＜2．
故得實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時考查了函數(shù)之間的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．