Question

9．函數f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-3（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）求函數f（x）的值域及ω的值；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{π}{8}$，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數恒等變換的應用化簡可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數的性質可求值域，進而可求f（x）的周期為8，利用周期公式即可得解ω的值．
（2）由三角函數平移變換的規(guī)律可得g（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，進而根據正弦函數的圖象和性質可求g（x）的最小值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-3=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），…．（1分）
∴f（x）的值域為[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
∵正三角形的高為2$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
∴f（x）的周期為8，
∴ω=$\frac{π}{4}$．…．（6分）
（2）由題得g（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴g（x）的最小值為-2$\sqrt{3}$．…．（10分）

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查三角函數的化簡求值與正弦函數的性質，考查分析轉化與運算能力，屬于中檔題．