Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2|x﹣a|．
（1）若函數y=f（x）為偶函數，求a的值；
（2）若a= ，求函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）當a＞0時，若對任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取∈R，則有f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|恒成立，

∴|x+a|=|x﹣a|恒成立，∴平方得2ax=﹣2ax恒成立，∴a=0

（2）解：當a= 時，f（x）=x2﹣2|x﹣a|= ，

由函數的圖象可知，函數的單調遞增區(qū)間為（﹣1， ]、[1，+∞）

（3）解：不等式式f（x﹣1）≤2f（x）化為（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，

即：4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），

對任意的x∈（0，+∞）恒成立，因為a＞0，所以分如下情況討論：

①0≤x≤a時，不等式（※）化為﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即x2+4x+1﹣2a≥0對x∈[0，a]恒成立，

∵g（x）=x2+4x+1﹣2a在[0，a]上單調遞增，

只需g（x）的最小值g（0）=1﹣2a≥0，∴0＜a≤ ．

②當a＜x≤a+1時，不等式（※）化為 4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即 x2﹣4x+1+16a≥0對x∈（a，1+a]恒成立恒成立，

由①知0＜a＜ ，∴h（x）=x2﹣4x+1+16a在∈（a，1+a]上單調遞減，

∴只需h（x）的最小值h（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2，

∵ ﹣2＜ ，∴ ﹣2≤a≤ ．

③當x＞a+1時，不等式（※）化為 4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，

即 x2+2a﹣3≥0 對x∈（a+1，+∞）恒成立．

由于m（x）=x2+2a﹣3≥0，且m（x）在[a+1，+∞）上單調遞增，

∴只需m（x）的最小值m（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣ 或a≥ ﹣2，

由②得： ﹣2≤a≤ ．

綜上所述，a的取值范圍是： ﹣2≤a≤

【解析】（1）根據f（﹣x）=f（x）恒成立，求得a的值．（2）當a= 時，f（x）=x2﹣2|x﹣a|= ，結合它的圖象得到函數的單調增區(qū)間．（3）不等式即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），分類討論，去掉絕對值，求得它的解集．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．