【題目】已知橢圓:的離心率為,直線被圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2),.
【解析】
(1)由橢圓的離心率為,求得,再由圓的性質(zhì)和圓的弦長公式,求得,進(jìn)而可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)的方程:,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得,再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和代數(shù)式的性質(zhì),即可得到結(jié)論。
(1)∵橢圓的離心率為,∴,
∵圓的圓心到直線的距離為,
∴直線被圓截得的弦長為
.
解得,故,∴橢圓的方程為.
(2)設(shè),,,
當(dāng)直線與軸不重合時(shí),設(shè)的方程:.
由得,,
∴,,
,
當(dāng),即時(shí),的值與無關(guān),此時(shí).
當(dāng)直線與軸重合且時(shí), .
∴存在點(diǎn),使得為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 ,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),過,分別作拋物線的切線,,與交于點(diǎn).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù),試問:
(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?
(2)上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)?
(3)在(1)中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)?
(4)在(1)中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”(已知1丈為10尺)該鍥體的三視圖如圖所示,則該鍥體的體積為( )
A. 12000立方尺B. 11000立方尺
C. 10000立方尺D. 9000立方尺
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,點(diǎn)A在橢圓E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面積為4.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的射線與橢圓E分別交于P,Q兩點(diǎn),證明:點(diǎn)O到直線PQ的距離為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:
同意 | 不同意 | 合計(jì) | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合計(jì) | 100 |
(1)求 a,d 的值;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由;
附:
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)為了解居民參加體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取18名男性居民,12名女性居民對(duì)他們參加體育鍛煉的情況進(jìn)行問卷調(diào)查.現(xiàn)按參加體育鍛煉的情況將居民分成3類:甲類(不參加體育鍛煉),乙類(參加體育鍛煉,但平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間不超過5個(gè)小時(shí)),丙類(參加體育鍛煉,且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過5個(gè)小時(shí)),調(diào)查結(jié)果如下表:
(1)根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否與性別有關(guān)?
(2)從抽出的女性居民中再隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況,求所抽取的2人中乙類,丙類各有1人的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ax﹣1(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)>0的解集;
(Ⅱ)對(duì)于任意x∈R,不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)求關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),上是否存在兩點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)說明滿足條件的的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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