Question

如圖，已知F是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過P作直線l交拋物線于不同的兩點(diǎn)A、C，點(diǎn)B、D在拋物線上，且

AF

=λ₁

FB

，

CF

=λ₂

FD

．
若

AF

•

CF

=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），設(shè)過P點(diǎn)的直線方程為：x+1=my，即x=my-1，若直線與拋物線y²=4x有兩個(gè)交點(diǎn)，則聯(lián)立直線與拋物線方程后的方程y²-4my+4=0的△=16m²-16＞0，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的定義，構(gòu)造方程求出m值，可得答案．

解答： 解：由已知可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
設(shè)過P點(diǎn)的直線方程為：x+1=my，即x=my-1，
則由直線與拋物線y²=4x有兩個(gè)交點(diǎn)，可得：
y²=4my-4，即y²-4my+4=0的△=16m²-16＞0，解得m＜-1，或m＞1，
且y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4，
則x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2=4m²-2，x₁•x₂=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=1，
∵

AF

=（1-x₁，-y₁），

CF

=（1-x₂，-y₂），
∴

AF

•

CF

=1-（x₁+x₂）+x₁•x₂+y₁•y₂=1-（4m²-2）+1+4=0，
即4m²-8=0，解得m=±

2

，
故直線l的方程為x+1=±

2

y，即x±

2

y+1=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量的數(shù)量積，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，難度中檔．