Question

14．設(shè)命題p：f（x）=lnx+x²+ax+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，命題q：a≥-2，則p是q的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分又不必要條件

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥-2x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=-2x-$\frac{1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可，求出命題p為真時(shí)a的范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+a+2x=$\frac{{2x}^{2}+ax+1}{x}$，（x＞0），
若f（x）在（0，+∞）遞增，
則2x²+ax+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即a≥-2x-$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=-2x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-{2x}^{2}}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
g（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）遞減，
∴g（x）＜g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
故a≥-2$\sqrt{2}$，
故命題p：a≥-2$\sqrt{2}$，命題q：a≥-2，
故p是q的必要不充分條件，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．