Question

7．已知函數(shù)$f（x）=2lnx+ax+\frac{1}{x}（{a∈R}）$在x=2處的切線經(jīng)過點（-4，2ln2）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}＞m-\frac{1}{x}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過求導(dǎo)，將點（-4，2ln2）代入切線方程可知a=-1，進而利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況即可判斷出單調(diào)性；
（2）通過參數(shù)分離可問題轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）＞m$，設(shè)$g（x）=\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）=\frac{1}{{1-{x^2}}}f（x）$，結(jié)合（1）可知g（x）＞0，通過利用反證法可證明g（x）的值域為（0，+∞），進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得$f'（x）=\frac{2}{x}+a-\frac{1}{x^2}，x＞0$，
∴$f'（2）=a+\frac{3}{4}$，
∴f（x）在x=2處的切線方程為y-f（2）=f'（2）（x-2），
即$y=（{a+\frac{3}{4}}）x+2ln2-1$，
∵點（-4，2ln2）在該切線上，∴a=-1，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x^2}=\frac{{-{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≤0$，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）由題意知x＞0且x≠1，
原不等式$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}＞m-\frac{1}{x}$等價于$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）＞m$，
設(shè)$g（x）=\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）=\frac{1}{{1-{x^2}}}f（x）$，
由（1）得f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且f（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＞0，g（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，g（x）＞0；
∴g（x）＞0，
假設(shè)存在正數(shù)b，使得g（x）＞b＞0，
若0＜b≤1，當(dāng)$x＞\frac{1}$時，$g（x）=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＜\frac{1}{x}＜b$；
若b＞1，當(dāng)$\frac{1}＜x＜1$時，$g（x）=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＜\frac{1}{x}＜b$；
∴不存在這樣的正數(shù)b，使得g（x）＞b＞0，∴g（x）的值域為（0，+∞），
∴m的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題是一道關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)的綜合題，涉及參數(shù)分離等技巧，考查了反證法等基礎(chǔ)證明方法，考查了運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．