Question

設(shè)，．證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿足以下條件：
（ⅰ），；
（ⅱ）存在；
（ⅲ），．

Answer 1

[證] 必要性：假設(shè)存在滿足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為
，，
其中．
將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得
．              
由（ⅱ）可設(shè)，將上式取極限得


，
因此．                                                          
充分性：假設(shè)．定義多項(xiàng)式函數(shù)如下：
，，
則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且
，．
因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根，且，即．   
下取數(shù)列為，，則明顯地滿足題設(shè)條件（ⅰ），且 ．
因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）．                                                              
最后驗(yàn)證滿足（ⅲ），因，即，從而
．
綜上，已證得存在數(shù)列滿足（�。�，（ⅱ），（ⅲ）．          

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