Question

3．在坐標平面xoy內，點A（x，y）（不是原點）的“k-相好點”B是指：滿足|OA|•|OB|=k（O為坐標原點）且在射線OA上的點，若點P₁，P₂，…P₂₀₁₇是直線y=-2x+10上的2017個不同的點，他們的“10-相好點”分別是${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$
（1）若P₁（2，6），求${P_1}^/$的坐標；
（2）證明：點${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圓，并求出圓的方程C；
（3）判斷第（2）問中的圓C與直線（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置關系．

Answer 1

分析 （1）由題意求出$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，由此能求出${P_1}^/$的坐標．
（2）過點O作OQ₁⊥直線y=-2x+10，垂足為Q₁，設Q₁的“10-相好點”為${Q_1}^/$，則$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$，由此能證明點${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圓，聯立$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$，得Q₁（4，2），從而求出${Q_1}^/（2，1）$，進而求出圓C的方程．
（3）推導出$（\frac{4}{3}，1）$恒在圓的內部，從而得到圓C與直線（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置關系是相交．

解答 解：（1）由題意：$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，由$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
則$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
又點${P_1}^/$在直線y=3x上，且在射線OP₁上，設點${P_1}^/（x，3x）$
所以$\sqrt{{x^2}+9{x^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故${P_1}^/$的坐標為${P_1}^/（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
證明：（2）過點O作OQ₁⊥直線y=-2x+10，垂足為Q₁，設Q₁的“10-相好點”為${Q_1}^/$
則$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$又∵$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$∴$|O{P_1}||O{P_1}^/|=|O{Q_1}||O{Q_1}^/|$即：$\frac{{|O{P_1}|}}{{|O{Q_1}|}}=\frac{{|O{Q_1}^/|}}{{|O{P_1}^/|}}$
又$∠{P_1}O{Q_1}=∠{Q_1}^/O{P_1}^/$∴$△O{P_1}{Q_1}相似△O{Q_1}^/{P_1}^/$∴$∠O{P_1}^/{Q_1}^/=∠O{Q_1}{P_1}={90^0}$∴${P_1}^/$在以$O{Q_1}^/$為直徑的圓上，
同理可證：${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$為直徑的圓上
所以點${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圓
由題意$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$聯立求解，得Q₁（4，2）
由于$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$且${Q_1}^/$在射線OQ₁上
所以${Q_1}^/（2，1）$
則圓C的方程為：${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}$
解：（3）∵直線（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）恒過$（\frac{4}{3}，1）$
而$（\frac{4}{3}，1）$恒在圓的內部．
故圓C與直線（3+3λ）x-（4+λ）y-3λ=0（λ∈R）的位置關系是相交．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查點共圓的證明，考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．