Question

12．己知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$時，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性得出結(jié)論．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1 的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$．
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$時，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{3}）=2$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=0 時，f（x）_min=sin0+1=1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．