8.已知向量$\vec a=(\sqrt{3}sinωx,-cosωx),\vec b=(cosωx,cosωx)$,函數(shù)f(x)=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)當(dāng)$x∈[0,\frac{π}{2}]$時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

分析 (1)根據(jù)向量的乘積的運(yùn)算,求出f(x)的解析式,利用三角函數(shù)公式化簡,最小正周期是π,可得ω的值,在結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{2}$時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的范圍,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求最值,可得函數(shù)f(x)的值域.

解答 解:(1)向量$\vec a=(\sqrt{3}sinωx,-cosωx),\vec b=(cosωx,cosωx)$,
函數(shù)f(x)=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$(ω>0)
即$f(x)=\sqrt{3}sinωxcosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}(1+cos2ωx)+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin(2ωx-\frac{π}{6})$
∵f(x)的最小正周期為π=$\frac{2π}{2ω}$,
∴ω=1.
∴f(x)的解析式為$f(x)=sin(2x-\frac{π}{6})$.
又∵$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$,k∈Z.
得:$kπ+\frac{1}{3}π≤x≤kπ+\frac{5}{6}π,k∈Z$,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間$[kπ+\frac{1}{3}π,kπ+\frac{5}{6}π],k∈Z$.
(2)∵當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{2}$時(shí),
可得:$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$,
∴$-\frac{1}{2}≤sin(2x-\frac{π}{6})≤1$,
即f(x)的值域?yàn)?[-\frac{1}{2},1]$.

點(diǎn)評 本題主要考查了向量的乘積運(yùn)算,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

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