Question

13．如圖，橢圓C：x ²+3y ²=a²（a＞0）．
（Ⅰ） 求橢圓C的離心率；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{6}$，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）化成標(biāo)準(zhǔn)方程，代入離心率公式計(jì)算即可；
（II）對(duì)直線MN的斜率討論，設(shè)方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式k，b的關(guān)系，利用△＞0得出k的范圍，求出O到直線MN的距離d的范圍即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{3}}=1$，
∴c²=a²-$\frac{{a}^{2}}{3}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}$，即c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）a=$\sqrt{6}$時(shí)，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
顯然直線MN的斜率存在．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，把x=$\sqrt{3}$代入橢圓方程得y=1，
∴O到直線MN的距離為1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
（2）當(dāng)直線MN斜率不為零時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
∴△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-6）＞0，解得b²＜6k²+2，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{36{k}^{2}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12（^{2}-2）}{1+3{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•2\sqrt{18{k}^{2}-3^{2}+6}}{1+3{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{6{k}^{2}-^{2}+2}$=1+3k²，
整理得b²=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$＜6k²+2，解得k²≥0．
∵O到直線MN的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d²=$\frac{^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=1-$\frac{4}{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}}$．
∴d²＜1，即d＜1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×d$$＜\sqrt{3}$．
綜上，△MON面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．