Question

20．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是①②⑤（寫出所有正確命題的編號）．
①當$0＜CQ＜\frac{1}{2}$時，S為四邊形    
②當$CQ=\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形
③當$CQ=\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點R滿足${C_1}{R_1}=\frac{1}{4}$
④當$\frac{3}{4}＜CQ＜1$時，S為六邊形    
⑤當CQ=1時，S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 過點A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據(jù)此，當Q為C₁C中點時，截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據(jù)此可以對①②進行判斷；
連接AP，延長交DC于一點M，再連接MQ并延長其交D₁D于N，連接AN，可見，截面此時不會與面ABB₁相交，據(jù)此判斷③，
當CQ=1時，截面為底為 $\sqrt{2}$，腰長為 $\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形，由此可求其面積．判斷④．
求出面積判斷⑤的正誤．

解答 解：連接AP并延長交DC于M，再連接MQ，
對于①，當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，MQ的延長線交線段D₁D與點N，且N在D₁與D之間，連接AN，則截面為四邊形APQN；①正確；
當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，此時可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②正確；
由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故③不正確；
④由③可知當$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；
⑤當CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故正確．
故答案為：①②⑤

點評 此題考查了截面的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用面面平行、面面相交的性質(zhì)確定截面的頂點．