Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+2）e^x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，恒有$\frac{f（x）-{e}^{x}}{ax+1}$≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+3）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞-3，令f′（x）＜0，解得：x＜-3，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-3）遞減，在（-3，+∞）遞增；
（2）a＜0時(shí)，若x＞-$\frac{1}{a}$，則$\frac{x+1}{ax+1}$e^x＜0，${\frac{x+1}{ax+1}e}^{x}≥1$不成立，
當(dāng)a≥0時(shí)，記g（x）=（x+1）e^x-ax-1，則$\frac{x+1}{ax+1}$e^x≥1當(dāng)且僅當(dāng)g（x）≥0，
g′（x）=（x+2）e^x-a，
當(dāng)x≥0時(shí)，（x+2）e^x≥2，當(dāng)0≤a≤2時(shí)，g′（x）≥0，
故g（x）在[0，+∞）遞增，故g（x）≥g（0）=0，
a＞2時(shí)，由（1）知g′（x）在[0，+∞）遞增，且g′（0）=2-a＜0，
g′（a-2）=a（e^a-2-1）＞0，于是，g′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1個(gè)實(shí)根，
不妨設(shè)該實(shí)根為x₀，當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g′（x）＜0，從而g（x）在（0，x₀）遞減，
故x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不合題意，
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．