Question

2．請先閱讀：在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求導法則，得（-sin2x）2=4cosx（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosxsinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），試由等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+-----+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整數(shù)n≥2），證明：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=1}^n{kC_n^k{x^{k-1}}}$．
（2）對于正整數(shù)n≥3，求證：
（i）$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}kC_n^k}$=0；
（ii）$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}{k^2}C_n^k}$=0．

Answer 1

分析 （1）對二項式定理的展開式兩邊求導數(shù)，移項得到恒等式．
（2）（i）對（1）中的x 賦值-1，整理得到恒等式．
（ii）對二項式的定理的兩邊對x求導數(shù)，再對得到的等式對x兩邊求導數(shù)，給x賦值-1化簡即得證．

解答 證明：（1）在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ兩邊對x求導得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移項得n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=1}^n{kC_n^k{x^{k-1}}}$．（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}kC_n^k}$=0；
（ii）由（1）知n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，n≥3
兩邊對x求導，得n（n-1）（1+x）^n-2=2C_n²+3•2C_n³x+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2
在上式中，令x=-1，得0=2C_n²+3•2C_n³（-1）+…+n（n-1）C_n²（-1）^n-2
即$\sum_{k=2}^{n}（-1）^{k}（{k}^{2}-k）{C}_{n}^{k}$=0，
又由（i）知$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}kC_n^k}$=0，
由兩式相加得$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}{k^2}C_n^k}$=0．

點評 本題考查導數(shù)的運算法則、考查通過賦值求系數(shù)和問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．