Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+p在x=-$\frac{2}{3}$和x=1處都取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[-2，2]，有f（x）≥-p²-ap-6恒成立，其中a∈[-1，1]．求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m，n的方程，求出m，n的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[-2，2]上的最小值，問題轉(zhuǎn)化為解不等式p²+（a+1）p≥0，解出即可．

解答 解；（1）f（x）=x³+mx²+nx+p，f'（x）=3x²+2mx+n
由 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=3×\frac{4}{9}+2m×（-\frac{2}{3}）+n=0}\\{f′（1）=3+2m+n=0}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
代回原函數(shù)得，f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+p，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1）．
（2）由（1）得：f（x）的遞增區(qū)間是[-2，-$\frac{2}{3}$）和（1，2]，遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1），
∴f（x）的最小值是f（-2）或f（1），而f（-2）=p-6，f（1）=p-$\frac{3}{2}$，
故f（-2）最小，
f（x）≥-p²-ap-6恒成立，即p²+（a+1）p≥0①，
a∈[-1，1]時，0≤a+1≤2，
解①得：p≥0或p≤-a-1，
即p的范圍是（-∞，-a-1]∪[0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．