Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（-x），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范圍是[4，+∞）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，由題意得出a的取值范圍和x₁x₂，x₃+x₄的值，再利用基本不等式即可求出ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范圍．

解答 解：由題意，畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，如圖所示，
又函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以0＜a≤2，
且log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
所以x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
所以ax₁x₂=a，
$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{a}$=$\frac{4}{a}$，
所以ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$=a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)“=”成立；
所以ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范圍是[4，+∞）．
故答案為：[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用問題，也考查了取值范圍的確定與等價(jià)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用問題，是綜合性題目．