Question

19．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$，若$AB=6，BC=5，AC=\sqrt{13}$，則點(diǎn)P到△ABC三邊的距離的最大值為$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的有關(guān)計(jì)算可得OA=2，OB=4，OC=3，如圖以O(shè)B，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出P的坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得最值得問值，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可

解答 解：在△ABC中過點(diǎn)C作OD⊥AB交AB于點(diǎn)O，則AC²-OA²=BC²-OB²，
即OB²-OA²=（OB-OA）（OB+OA）=12，
又OA+OB=6，
解得OA=2，OB=4，
所以O(shè)C=3，
如圖以O(shè)B，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，
所以A=（-2，0），B（4，0），C（0，3），
設(shè)P（x，y），
∵$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$，
∴3（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$+2（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$（3$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{6}$（-2，6）=（-$\frac{1}{3}$，1），
即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，1），
易知P到△ABC中BC邊的距離最大，
又直線BC的方程為3x+4y-12=0，
∴點(diǎn)P到△ABC三邊的距離的最大值為$\frac{|-1+4-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{9}{5}$，
故答案為：$\frac{9}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題