Question

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，，是的中點(diǎn).

（1）證明：面面；

（2）求與夾角的余弦值；

（3）求面與面所成二面角余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）證明面面，只需證明平面內(nèi)的直線垂直于平面內(nèi)的相交直線即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，利用向量所成的角，即可求解異面直線與夾角的余弦值；（3）作在上取一點(diǎn)，則存在，使，得，.所以為所求二面角的平面角，即可利用向量所成角的公式，求解面與面所成二面角余弦值的大小.

試題解析：

證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，

（1）證明：因，，故，所以.

由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面，

又在面上，故面面.

（2）解：因，，

故，，，

所以.

（3）解：在上取一點(diǎn)，則存在，使，

，，∴，，.

要使，只需，即，解得.

可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，能使.

此時(shí)，，，有.

由，，得，.

所以為所求二面角的平面角.

∵，，，

∴