Question

15．已知點P是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右焦點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，若PF₂的中點N在第一象限，且N在雙曲線的一條漸近線上，則雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由雙曲線的定義可得n-m=2a，再由向量垂直的條件，結(jié)合勾股定理和直角三角形的正切函數(shù)定義，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的關(guān)系，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由雙曲線的定義可得n-m=2a，①
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，可得三角形F₁PF₂是以P為直角頂點的三角形，
即有m²+n²=4c²，②
直線ON的方程為y=$\frac{a}$x，
由題意可得在直角三角形ONF₂中，|ON|=$\frac{1}{2}$m，|NF₂|=$\frac{1}{2}$n，
即有$\frac{a}$=$\frac{n}{m}$，③
由①③可得m=$\frac{2{a}^{2}}{b-a}$，n=$\frac{2ab}{b-a}$，
代入②可得$\frac{4{a}^{4}}{（b-a）^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}^{2}}{（b-a）^{2}}$=4c²，
由c²=a²+b²，可化為a²=（b-a）²，
可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)的運用，注意運用中位線定理和勾股定理，以及定義法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．