Question

18．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和為S_n，滿足${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求S_n的表達式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}），{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}（n≥2）$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可證明．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，再利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵$S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}），{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}（n≥2）$，
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
所以數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$≥$\frac{1}{3}$．
又∵不等式T_n≥$\frac{1}{18}$（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，
∴$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{18}$（m²-5m），
化簡得：m²-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴正整數(shù)m的最大值為6．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．