13.過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),作圓x2+y2=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線左支于點(diǎn)M,且E是MF的中點(diǎn),則雙曲線離心率為( 。
A.$\sqrt{10}$B.$\frac{\sqrt{10}}{2}$C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$D.2$\sqrt{10}$

分析 原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì),求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF,通過(guò)勾股定理得到a,c的關(guān)系,進(jìn)而求出雙曲線的離心率.

解答 解:如圖,記右焦點(diǎn)為F′,則O為FF′的中點(diǎn),
∵E為PF的中點(diǎn),∴OE為△FF′P的中位線,∴PF′=2OE=a,
∵E為切點(diǎn),∴OE⊥PF,∴PF′⊥PF,
∵點(diǎn)P在雙曲線上,∴PF-PF′=2a,∴PF=PF′+2a=3a,
在Rt△PFF′中,有:PF2+PF′2=FF′2,∴9a2+a2=4c2,即10a2=4c2,
∴離心率e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$,
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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