【題目】設(shè)O是坐標原點,橢圓C:x2+3y2=6的左右焦點分別為F1 , F2 , 且P,Q是橢圓C上不同的兩點, (Ⅰ)若直線PQ過橢圓C的右焦點F2 , 且傾斜角為30°,求證:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若P,Q兩點使得直線OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比數(shù)列.求直線PQ的斜率.
【答案】解:(Ⅰ)證明:x2+3y2=6即為 , 即有a= ,b= ,c= =2,
由直線PQ過橢圓C的右焦點F2(2,0),且傾斜角為30°,
可得直線PQ的方程為y= (x﹣2),
代入橢圓方程可得,x2﹣2x﹣1=0,
即有x1+x2=2,x1x2=﹣1,
由弦長公式可得|PQ|=
= = ,
由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ,
可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|,
則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,代入橢圓方程x2+3y2=6,
消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0,
則△=36k2m2﹣12(1+3k2)(m2﹣2)
=12(6k2﹣m2+2)>0,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ,
∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
∴ = =k2 ,
即km(x1+x2)+m2=0,即有﹣ +m2=0,
由于m≠0,故k2= ,
∴直線PQ的斜率k為±
【解析】(I)求得橢圓的a,b,c,設(shè)出直線PQ的方程,代入橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式可得|PQ|,再由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a,由等差數(shù)列的中項的性質(zhì),可得結(jié)論;(Ⅱ)設(shè)出直線PQ的方程,代入橢圓方程,運用韋達定理和判別式大于0,由等比數(shù)列的中項的性質(zhì),結(jié)合直線的斜率公式,化簡整理,解方程即可得到直線PQ的斜率.
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【題目】給出下列命題:
①正切函數(shù)圖象的對稱中心是唯一的;
②若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則這樣的函數(shù)是不唯一的;
③若,是第一象限角,且,則;
④若是定義在上的奇函數(shù),它的最小正周期是,則.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在某大學自主招生考試中,所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試,成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示,其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.
(Ⅰ)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù);
(Ⅱ)若等級A,B,C,D,E分別對應(yīng)5分,4分,3分,2分,1分,求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分;
(Ⅲ)已知參加本考場測試的考生中,恰有兩人的兩科成績均為A.在至少一科成績?yōu)锳的考生中,隨機抽取兩人進行訪談,求這兩人的兩科成績均為A的概率.
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【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機構(gòu)對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析,得出下表數(shù)據(jù).
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖,并說明其相關(guān)關(guān)系;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù).
(相關(guān)公式:)
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其指標值來衡量,其指標值越大表明質(zhì)量越好,且指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的指標值,得到了下面的試驗結(jié)果: A配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106) | [106,110] |
頻數(shù) | 8 | 20 | 42 | 22 | 8 |
B配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106) | [106,110] |
頻數(shù) | 4 | 12 | 42 | 32 | 10 |
(1)分別估計用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其指標值t的關(guān)系式為y= ,估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率,并求用B配方生產(chǎn)的上述產(chǎn)品平均每件的利潤.
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【題目】以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<α<π),曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點,當α變化時,求|AB|的最小值.
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【題目】已知f(x)是定義在R上的函數(shù),滿足f(x)+f(﹣x)=0,f(x﹣1)=f(x+1),當x∈[0,1)時,f(x)=3x﹣1,則f(log 12)的值為( )
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.
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【題目】為弘揚“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”,某中學在校內(nèi)對全體學生進行了一次檢測,規(guī)定分數(shù)分為優(yōu)秀,為了解學生的測試情況,現(xiàn)從2000名學生中隨機抽取100名學生進行分析,按成績分組,得到如下頻數(shù)分布表。
分數(shù) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 5 | 35 | 30 | 20 | 10 |
(1)在圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估計這次測試的平均分;
(3)估計這次測試成績的中位數(shù)。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=-,若x∈R,f(x)滿足f(-x)=-f(x).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)(x∈R)的單調(diào)性,并說明理由;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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