Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若a=2，求f（x）=c有三個不同實根時，c的取值范圍．
（說明：第二問能用f（x）表達(dá)即可，不必算出最結(jié)果．）

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導(dǎo)，由已知條件函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在區(qū)間（1，4）上恒成立，和f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在區(qū)間（1，4）上恒成立，兩個恒成立問題，從而求解；
（2）把a=2代入f（x），然后求導(dǎo)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出圖形進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a2-13) x+1
∴f′（x）=x²-ax+a²-13，∵f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)．
∴f′（x）=x²-ax+a²-13≤0在區(qū)間（6，+∞）上恒成立，
f′（x）=x²-ax+a²-13≥0在區(qū)間（6，+∞）上恒成立，
由f′（x）=x²-ax+a²-13開口向上，
∴只需

f′(1)=1-a+a213≤0 f′(4)=16-4a+ a2-13≤0  f′(6)=36-6a+a2-13≤0

∴

-3≤a≤4 1≤a≤3 a∈R

∴a∈[1，3]
∴a的取值范圍為[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=

1

3

x3-x2-9x+1，
∴f′（x）=x²-2x-9，
∴令f′（x）=x²-2x-9≥0即x≤1-

10

或x≥1+

10

，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-

10

），（1+

10

，+∞），減區(qū)間為（1-

10

，1+

10

）

X	(-∞，1- 10 )	1- 10	(1- 10 ，1+ 10 )	1+ 10	(1+ 10 ，+∞)
y’	+	0	-	0	+
y	↗	極大值 20 10 -26 3	↘	極小值- 20 10 +26 3	↗

∴f（x）的大致圖象如圖所示：
令y=c，則由圖可知，當(dāng)c∈(-

20 10 +26

3

，

20 10 -26

3

)

點評：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，第一問比較新穎，已知單調(diào)區(qū)間來a的范圍，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性比較強的題．