Question

7．已知圓A：（x+1）²+y²=8，動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0），且與圓A相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C相切于點(diǎn)M，且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，且λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求△OPQ面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，則|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，M點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，代入橢圓方程，由△=0，求得b²=1+2k²，利用韋達(dá)定理求得切點(diǎn)坐標(biāo)，△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，由λ的取值范圍求得k的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OPQ面積S的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，依題意，|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，
∴M點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，即2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，2c=2，c=1，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵l與橢圓C相切于點(diǎn)M，設(shè)M（x₀，y₀），
∴△=8（1+2k²-b²）=0，即b²=1+2k²，…（6分）
且2x₀=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{4kb}{^{2}}$，解得：x₀=-$\frac{2k}$，y₀=-$\frac{2{k}^{2}}$+b=$\frac{1}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{2k}$，$\frac{1}$），
又l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{k}$，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，b），
∴△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•|OP|•|OQ|=$\frac{^{2}}{2丨k丨}$，又b²=1+2k²，
∴S=$\frac{1+2{k}^{2}}{2丨k丨}$=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，…（9分）
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{k}$-$\frac{2k}$，$\frac{1}$），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{2k}$，b-$\frac{1}$），
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$得，$\frac{1}$=λ（b-$\frac{1}$），化簡(jiǎn)得λ=$\frac{1}{^{2}-1}$=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，
由λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，得k²∈[$\frac{1}{4}$，1]，|k|∈[$\frac{1}{2}$，1]，
又S=|k|+$\frac{1}{2丨k丨}$，且函數(shù)y=x+$\frac{1}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)|k|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，S取得最小值$\sqrt{2}$，當(dāng)|k|=$\frac{1}{2}$或1時(shí)，S取得最大值$\frac{3}{2}$，
∴△OPQ面積S的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．