Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，結(jié)合已知列式求解；
（2）由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，可得$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的數(shù)量積為0，代入數(shù)量積公式求解．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{c}=（4，2）$或$\overrightarrow{c}=（-4，-2）$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即$2{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}=0$，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ-2|\overrightarrow{|}^{2}=0$．
則$2×5+3×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}cosθ-2×\frac{5}{4}=0$，
∴cosθ=-1，
∵θ∈[0，π]，∴θ=π．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)的計算題．