Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（1）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）若$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，e]上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)a的范圍，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最大值，從而求出a的值即可．

解答 解：（1）g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${g^'}（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
①當(dāng)a=0時(shí)，${g^'}（x）=\frac{-x+1}{x}$，
當(dāng)$\begin{array}{l}x∈（0，1），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；\\ x∈（1，+∞），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；\end{array}$
②當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2a}＞1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，1）∪（\frac{1}{2a}，+∞），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）和（\frac{1}{2a}，+∞）上單調(diào)遞增；\\ x∈（1，\frac{1}{2a}），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，\frac{1}{2a}）上單調(diào)遞減；\end{array}$
③當(dāng)$a=\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2a}=1$，x∈（0，+∞），g′（x）＞0，
g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2a}＜1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，\frac{1}{2a}）∪（1，+∞），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，\frac{1}{2a}）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；\\ x∈（\frac{1}{2a}，1），{g^'}（x）＜0，g（x）在（\frac{1}{2a}，1）上單調(diào)遞減；\end{array}$
⑤當(dāng)a＜0時(shí)，此時(shí)$\frac{1}{2a}＜1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，1）{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；\\ x∈（1，+∞），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；\end{array}$
…（7分）
（2）由第（1）知
①當(dāng)a≤0時(shí)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
故g（x）_max=g（1）=a-2a-1=1，則a=-2
②當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2e}$，此時(shí)$\frac{1}{2a}≥e$，
g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（1）＜0矛盾，
③當(dāng)$\frac{1}{2e}＜a＜\frac{1}{2}$，此時(shí)$1＜\frac{1}{2a}＜e$$g（x）在（0，1）和（\frac{1}{2a}，e）上單調(diào)遞增，在（1，\frac{1}{2a}）上單調(diào)遞減$；
g（x）最大值可能在x=1或x=e處取得，
而g（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
故$g{（x）_{max}}=g（e）=lne+a{e^2}-（2a+1）e=1$，
則$a=\frac{1}{e-2}$與$0＜a≤\frac{1}{2e}$矛盾，舍去，
綜上所述：a=-2                                              …．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．