Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，2]時，不等式|f（x）-a²x|≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，解不等式求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax=3x（x-$\frac{2}{3}$a），
a=0時，函數(shù)f（x）在R遞增，
a＞0時，f（x）在（-∞，0]，[$\frac{2}{3}$a，+∞）遞增，
a＜0時，f（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$a]，[0，+∞）遞增；
（2）令G（x）=f（x）-a²x=x³-ax²-a²x，
G′（x）=（x-a）（3x+a），
a=0時，不等式|f（x）-a²x|≤2在x∈[0，2]時不恒成立，
0＜a≤2時，要使不等式|f（x）-a²x|≤2在[0，2]時恒成立，
則|G（a）|≤2且|G（2）|≤2，解得：1≤a≤$\root{3}{2}$，
a＞2時，要使不等式|f（x）-a²x|≤2在x∈[0，2]恒成立，
則|G（2）|≤2，解得：a不存在，
-6≤a＜0時，要使不等式|f（x）-a²x|≤2在x∈[0，2]時恒成立，
則|G（-$\frac{a}{3}$）|≤2時，解得：a不存在，
綜上，1≤a≤$\root{3}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．