Question

18．已知數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n=$\sqrt{n+1}$-1，n∈N^*．算出數(shù)列的前4項的值后，猜想該數(shù)列的通項公式是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次計算數(shù)列{a_n}的前4項，分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n=$\sqrt{n+1}$-1，n∈N^*．
則a₁=s₁=$\sqrt{2}$-1，
a₂=s₂-s₁=（$\sqrt{3}$-1）-（$\sqrt{2}$-1）=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
a₃=s₃-s₂=（$\sqrt{4}$-1）-（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，
a₄=s₄-s₃=（$\sqrt{5}$-1）-（$\sqrt{4}$-1）=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，
分析可得：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案為：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的表示方法，關鍵是準確計算求出數(shù)列的前4項，進而分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律．