Question

已知C1：x2-8x+y2+15=0，C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1，若?t∈R，使得C₁與C₂至少有一個公共點，則k的取值范圍

[0，

4

3

]

．

Answer 1

分析：通過兩個圓的方程求出兩個圓的圓心與半徑，利用圓心距與半徑和與差的關(guān)系即可求解．

解答：解：因為圓C1：x2-8x+y2+15=0圓心為（4，0）半徑為1的圓，
圓C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1是圓心為（t，kt-2）半徑為1的圓，
因為兩個圓的半徑都是1，所以兩個圓至少有一個公共點就是兩個圓心距小于等于2；
得出（t-4）²+（kt-2）²≤4
化簡得（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0，
因為存在t∈R，使得C₁與C₂至少有一個公共點，只需不等式（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0有解，
不等式有解等價于拋物線與x軸至少有一個交點，
即△≥0，即16（2+k）²-4（k²+1）×16≥0，
解得0≤k≤

4

3

．
故答案為：[0，

4

3

]．

點評：本題考查兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，二次方程解的個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．