Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx（a，b∈R），且F（x）=f（x）+3ax²+2x+b為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設(shè)g（x）=log_m

f(x)

x2

（m＞0，m≠1），h（x）=

x2

f(x)

-1，當x∈（0，1]時，記g（x）的值域為集合A，h（x）的值域為集合B，若A⊆B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),集合的包含關(guān)系判斷及應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義求系數(shù)；
（2）由（1）分別求出集合A，B，利用集合間的關(guān)系求參數(shù)m范圍．

解答： 解：（1）因為f（x）=ax³+x²+bx（a，b∈R），且F（x）=f（x）+3ax²+2x+b為奇函數(shù)，
所以F（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b為奇函數(shù)，F(xiàn)（0）=0得b=0，
再由F（-x）=-F（x）得a（-x）³+（3a+1）x²-（b+2）x=-ax³-（3a+1）x²-（b+2）x，
所以3a+1=0，a=-

1

3

；
所以f（x）的表達式為f（x）=-

1

3

x³+x²．
（2）由（1）得g（x）=log_m

f(x)

x2

=log_m（-

1

3

x+1），（m＞0，m≠1），

2

3

≤-

1

3

x+1＜1，
記g（x）的值域為集合A，
h（x）=

x2

f(x)

-1=

x

3-x

=-1-

3

x-3

，h（x）在x∈（0，1]時為增函數(shù)，
所以h（x）的值域為集合B，則B=（0，

1

2

]；
若A⊆B，所以0＜m＜1，所以A=（0，log_m

2

3

]，所以log_m

2

3

≤

1

2

，解得m≤

4

9

；
所以使A⊆B成立的實數(shù)m的取值范圍為0＜m≤

4

9

．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．