Question

8．下列命題中正確的是（　�。�

• A． 若α＞β，則sinα＞sinβ
• B． 命題：“?x＞1，x²＞1”的否定是“?x≤1，x²≤1”
• C． 已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調遞減，則a²+b²的取值范圍為$[{\frac{9}{5}，+∞}）$
• D． “若xy=0，則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0或y≠0，則xy≠0”

Answer 1

分析 在A中，舉出反例即可；在B中，全稱命題的否定是特稱命題；在C中，f′（x）=3x²+2ax+b，由函數(shù)單調性質得到f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，由線性規(guī)劃能求出a²+b²的取值范圍；在D中，“若xy=0，則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0，則xy≠0”．

解答 解：在A中，由361°＞30°，則sin361°＜sin30°，故A錯誤；
在B中，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“?x＞1，x²＞1”的否定是“?x＞1，x²≤1”，故B錯誤；
在C中，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調遞減，∴f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，
∴f′（-1）≤0且f′（0））≤0，即3-2a+b≤0且b≤0，
由線性規(guī)劃知，a²+b²的幾何意義是可行域內的點到（0，0）點的距離的平方，如圖，
點（a，b）在直線3-2x+y=0的右下方及x軸下方（如圖），
點（a，b）到原點的距離最小值為$\frac{3}{\sqrt{（-2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，無最大值，故a²+b²的取值范圍為$[{\frac{9}{5}，+∞}）$，故C正確；
在D中，“若xy=0，則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0，則xy≠0”，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷，涉及正弦函數(shù)、全稱命題、導數(shù)、線性規(guī)劃、復合命題等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．