Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），過(guò)點(diǎn)F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l交直線2bx+ay=0于M，若M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，則橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得出過(guò)點(diǎn)F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l的方程，與2bx+ay=0聯(lián)立即可解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入以線段F₁F₂為直徑的圓的方程，得到a，b的關(guān)系，再由a，b，c的關(guān)系，可得a，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式即可得出離心率e．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l的方程為y=$\frac{2b}{a}$（x-c），
與2bx+ay=0聯(lián)立，
可得交點(diǎn)M（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{a}$），
∵點(diǎn)M在以線段F₁F₂為直徑的圓：x²+y²=c²上，
∴（$\frac{c}{2}$）²+（-$\frac{bc}{a}$）²=c²，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{1}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，熟練掌握橢圓的離心率公式、直線的點(diǎn)斜式、圓的方程是解題的關(guān)鍵．