【題目】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,,,E,F為AB的三等分點(diǎn),且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點(diǎn)重合,記為點(diǎn)P.
證明:平面平面PEF;
若,求PD與平面PFC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
推導(dǎo)出四邊形CDEF是平行四邊形,,,由,得,從而面PEF,由此能證明平面平面PEF.
在平面PEF內(nèi)作,垂足為O,取CD的中點(diǎn)M,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出PD與平面PFC所成角的正弦值.
,,四邊形CDEF是平行四邊形,,
≌,,,
,,,,
,面PEF,
面PFC,平面平面PEF.
在平面PEF內(nèi)作,垂足為O,取CD的中點(diǎn)M,
由知平面PEF,故FC,平面CDEF,,,
,,,,,OF,OM兩兩垂直,
以O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),是等邊三角形,
0,,0,,2,,2,,
0,,2,,2,,
設(shè)y,是平面PFC的法向量,
則,取,得0,,
設(shè)PD與平面PFC所成角為,
則,
與平面PFC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知點(diǎn)A(2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
(i)證明:是直角三角形;
(ii)求面積的最大值.
(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在棱錐中,為矩形,面,
(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)x∈[0,1]時(shí),下列關(guān)于函數(shù)y=的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)說法正確的是( 。
A. 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí),沒有交點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí),有且只有一個(gè)交點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列四個(gè)命題:
(1)“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;
(2)“面積相等的三角形全等”的否命題;
(3)“若,則無實(shí)數(shù)解”的否命題;
(4)命題:“空間中到一個(gè)正四面體的六條棱所在的直線距離均相等的點(diǎn)有且只有個(gè)”; 其中真命題( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,分別為,的中點(diǎn),,.
(1)求證:;
(2)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,一條流水線年產(chǎn)量為件,該生產(chǎn)線分為兩段,流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí),具體見下表:
第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo) | 或 | 或 | |
第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件,得到頻率分布直方圖如圖:
若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤(rùn)分別是元、元、元.
(Ⅰ)以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo),估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;
(Ⅱ)將頻率估計(jì)為概率,試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤(rùn);
(Ⅲ)現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段,價(jià)格是萬元,使用壽命是年,安裝這種設(shè)備后,流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布,且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司作出決策,是否要購買該設(shè)備?說明理由.
(參考數(shù)據(jù):,,)
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