Question

8．已知曲線f（x）=x•lnx在點（1，f（1））處的切線與曲線y=x²+a相切，則a=-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求出f（x）=x•lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線y=x²+a相切，可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值．

解答 解：f（x）=x•lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=lnx+1，
曲線f（x）=x•lnx在x=1處的切線斜率為k=1，
則曲線f（x）=x•lnx在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
由于切線與曲線y=x²+a相切，
故y=x²+a可聯(lián)立y=x-1，
得x²-x+a+1=0，
所以有△=1-4a-4=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切線方程運用兩線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．